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Comencemos por observar una planta interesante desde el punto de vista geométrico:
Foto 1. Un helecho. Las tres fotos, denominadas por D, E y F son tres vistas de un mismo helecho. La E representa una parte de la D vista de cerca, y la F es, a su vez, una ampliación de la E. Si nos fijamos en el aspecto general del helecho (D), veremos que consta básicamente de un tallo central de donde salen a banda y banda hojas de color verde acabadas en punta. Si realizamos un zoom sobre una de las hojas (E), la estructura se repite: tallo central y hojas verdes a banda y banda. Observando finalmente una de las hojas (F) veremos la misma estructura, y así ad infinitum. La propiedad en virtud de la cual la forma geométrica del helecho es independiente de la escala en que se observa se denomina autosemejanza, y las figuras geométricas que la cumplen se denominan fractales. Podemos encontrar otros ejemplos de fractales en la naturaleza:
Foto 2. La geometría fractal de la naturaleza. La foto A, es un rayo, la B un árbol y la C, el sistema circulatorio humano, en un dibujo antiguo. El objeto de la introducción al concepto de fractal viene motivado a entender qué tipo de forma geométrica tiene el poema que se presenta a continuación bajo el nombre de insula smaragdina. (de ahora en adelante, y por brevedad, insula). Tal y como se puede ver en la página inicial del website, la insula se clasificó como un poema visual: es un poema en tanto que “expresa el contenido espiritual propio mediante palabras dispuestas según unas determinadas leyes métricas”. De hecho, para el caso que nos ocupa, sería más conveniente hablar de leyes “matemáticas” en lugar de “métricas” ya que las palabras de la obra están escritas siguiendo una geometría fractal. Por lo tanto, es un poema visual en tanto que las palabras se disponen sobre el papel siguiendo la mencionada geometría. (las ilustraciones del helecho y de las tres posteriores fueron escaneadas de la revista “Mundo Científico”, nº201, mayo 1999, p.58)
Las letras del poema están dispuestas sobre el papel de manera que forman el fractal denominado Isla de Koch (de aquí el nombre de insula, que en latín significa isla). La Isla de Koch forma parte de un conjunto sencillo de fractales denominados “Sistemas de Lindenmayer”:
Figura 1. Isla de Koch (3ª iteración) Si lo desea, puede explorar la Isla de Koch y otros fractales mediante el siguiente programa (cliquee aquí para las instrucciones de instalación): Aplicaci�n Fractus (clicar aqui) Es importante notar la estructura autosemejante de la Isla de Koch. Para ponerla en evidencia, observémosla a diferentes escalas y comprobemos si las estructuras resultantes se parecen. En primer lugar, dibujemos una isla de Koch a la 4ª iteración. Imaginemos que tenemos una cámara fotográfica y hacemos una foto con el zoom al máximo, a la mitad y al mínimo de su potencia de una región de la figura:
A continuación, hacemos un seguido de superposiciones entre las figuras anteriores para intentar demostrar la semejanza que hay entre ellas:
Superponiendo la figura 3 a la 2 (cambiando la 3 de tamaño), parece que la figura 3 quiera seguir los rectángulos perfectamente dibujados de la figura 2, pero que por alguna razón no acaba de saberla imitar a la perfección. Superponiendo la figura 4 a la 2 (cambiando también la 4 de tamaño), se observa un resultado equivalente al anterior: la figura 4 quiere seguir también los rectángulos perfectos de la 2, y lo hace con un poco más de eficiencia que la 3, pero aún precariamente. También podemos superponer la 4 sobre la 3 (cambio de tamaño de la 4): observamos que son espectacularmente semejantes, aunque no exactamente iguales. La 4 resigue minuciosamente la 3, pero con pequeñas desviaciones, sin llegar a la perfección. Queda pues demostrado como la Isla de Koch, vista desde diferentes escalas, tiene estructuras muy semejantes: la 3 es semejante a la 2, la 4 semejante a la 3, y así hasta el infinito. Por lo tanto, la Isla tiene la propiedad de autosemejanza, característica de las formas fractales.
Demos una rápida hojeada a las letras que están escritas siguiendo la geometría de la Isla de Koch y configurando el poema insula smaragdina. Para ver el poema y generar diferentes versiones del mismo, puede utilizar el siguiente programa generador de poemas (para leer las instrucciones de instalación cliquee aquí). También puede ver de manera más directa los diferentes aspectos del poema cliqueando sobre galería. Dada la complicación que representa reproducir aquí íntegramente los poemas generados por la aplicación, cojamos tan sólo un pequeño trozo del mismo:
Figura 8. Un recorte del poema Si leemos el texto en el sentido de las agujas del reloj, podremos llegar a aislar la siguiente frase: "QUODESTINFERIUSESTSICUTQUODESTSUPERIUSET Pudiéndose a su vez separar por palabras formando la sentencia: "QUOD EST INFERIUS EST SICUT QUOD EST SUPERIUS ET QUOD EST SUPERIUS EST SICUT QUOD EST INFERIUS ET" Si tuviéramos la paciencia de leer todas las letras del poema, veríamos que la anterior frase se va repitiendo sin fin, una vez tras otra. Durante esta paciente lectura, veríamos como al llegar a la última palabra, “ET”, la siguiente sería la “QUOD” del principio. El esquema de lectura se iría repitiendo indefinidamente hasta llegar al punto de partida, otro “QUOD”, a partir del cual podríamos volver a comenzar a leer el mismo texto, una y otra vez hasta el infinito. El siguiente esquema ejemplifica el proceso de lectura (cliquee sobre la imagen para ampliarla):
Figura 9. Como se repite el texto hasta el infinito. Para acabar con la descripción, seria conveniente aclarar que no hay una única representación del poema. Esto significa que no existe ninguna versión definitiva del poema, sino que cualquiera puede crear la suya mediante el programa informático insula. Por lo tanto, cada uno puede construir su propio poema e imprimirlo (o no) de la manera que encuentre más conveniente.
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